Các quy tắc tính xác suất

Thông thường, chúng ta muốn tính xác suất của một sự kiện từ xác suất đã biết của những sự kiện khác. Bài này sẽ liệt kê những quy tắc quan trọng để tính xác suất

Định nghĩa và ký hiệu

Trước khi thảo luận về các quy tắc tính xác suất, ta cần nắm rõ ràng những định nghĩa sau:

• Hai sự kiện được gọi là loại trừ hay phủ định lẫn nhau nếu chúng không thể xảy ra đồng thời (Ví dụ tung đồng xu, ta không thể nhận được đồng thời cả mặt xấp và ngửa)
• Xác suất để sự kiện A xảy ra, với điều kiện là sự kiện B phải xảy ra trước, được gọi là một xác suất có điều kiện. Xác suất có điều kiện của sự kiện A, khi đã có sự kiện B được kí hiệu là P(A|B).
• Phần bù của một sự kiện là việc sự kiện đó không xảy ra. Xác suất để sự kiện A không xảy ra được kí hiệu bởi P(A’).
• Xác suất để sự kiện A và B đồng thời xảy ra là xác suất của phần giao của A và B, được kí hiệu là P(A ∩ B). Nếu sự kiện A và B loại trừ lẫn nhau, P(A ∩ B) = 0. (Xem hình minh họa)
• Xác suất để sự kiện A hoặc B xảy ra là xác suất của phần hợp A và B, kí hiệu là P(A ∪ B). (Xem hình minh họa)
• Nếu sự kiện A xảy ra kéo theo sự thay đổi xác suất của sự kiện B, thì sự kiện A và B được gọi là phụ thuộc. Ngược lại, nếu A xảy ra mà không thay đổi xác suất của B, thì Sự kiện A và B không phụ thuộc.

Quy tắc trừ xác suất

Ở bài Giới thiệu về xác suất, chúng ta đã được biết 2 đặc tính quan trọng của xác suất:

• Xác suất của 1 sự kiện có giá trị từ 0 đến 1
• Tổng xác suất của tất cả các kết quả có thể xảy ra bằng 1

Quy tắc trừ xác suất được suy ra trực tiếp từ những đặc tính này:

Quy tắc trừ: Xác suất để sự kiện A xảy ra bằng 1 trừ đi xác suất để sự kiện A không xảy ra: P(A) = 1 - P(A')

Ví dụ, xác suất để Trang thi đỗ đại học là 0.8, thì xác suất để Trang không thi đỗ là 1 – 0.8 = 0.2

Quy tắc nhân xác suất

Quy tắc này áp dụng khi ta muốn biết xác suất của phần giao giữa 2 sự kiện; tức là ta muốn biết xác suất để cả 2 sự kiện A và B xảy ra.

Quy tắc nhân: Xác suất để cả hai sự kiện A và B xảy ra bằng xác suất để A xảy ra nhân với xác suất để B xảy ra, với điều kiện A đã xảy ra:  P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) 

Ví dụ:

1 hộp có 6 bi đỏ và 4 bi đen. Nếu mỗi lần lấy ra 1 viên bi thì sau 2 lần, xác suất để cả 2 viên bị lấy ra có màu đen là bao nhiêu?

Gọi A là sự kiện viên bi đầu tiên có màu đen, B là sự kiện viên bi thứ hai có màu đen.

• Ở lần lấy đầu tiên, có 10 viên bi trong hộp, trong đó 4 viên là màu đen. Do đó P(A) = 4/10
• Sau lần lấy đầu tiên, còn lại 9 viên trong hộp, 3 trong số đó là màu đen. Do đó P(B|A) = 3/9.

Do đó, dựa theo quy tắc nhân xác suất:

P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
P(A ∩ B) = (4/10) * (3/9) = 12/90 = 2/15 = 0.133

Quy tắc cộng xác suất

Quy tắc này áp dụng khi chúng ta muốn tính xác suất để ít nhất 1 trong hai sự kiện xảy ra (hợp của 2 sự kiện)

Quy tắc cộng:  Xác suất để ít nhất 1 trong hai sự kiện (A, B) xảy ra bằng xác suất xảy ra sự kiện A cộng vs xác suất xảy ra sự kiện B trừ đi xác suất cả 2 sự kiện A và B xảy ra:  P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) =  P(A) + P(B) - P(A)P( B | A ) 

Ví dụ:

Một sinh viên đến thư viện, xác suất cô ấy mượn một giáo trình Toán là 0.4, xác suất cô ấy mượn một giáo trình Triết học là 0.3, xác suất cô ấy mượn cả Toán và Triết học là 0.2. Vậy xác suất để cô này mượn ít nhất 1 trong 2 giáo trình này là bao nhiêu.

Gọi F là sự kiện cô sinh viên mượn giáo trình Toán, N là sự kiện cô sinh viên mượn giáo trình Triết học. Khi đó, dựa trên quy tắc cộng xác suất

P(F ∪ N) = P(F) + P(N) – P(F ∩ N)
P(F ∪ N) = 0.40 + 0.30 – 0.20 = 0.50